北师大版数学九年级上册6.2第1课时反比例函数的图象优秀教案反思

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《北师大版数学九年级上册6.2第1课时反比例函数的图象优秀教案反思》这是一篇九年级上册数学教案，这节课主要是通过学生自主探究、观察、类比学习，探索得出反比例函数的图象和性质，使学生经历了一次自主获取新知的成功体验，充分体现自主探究的学习方法。

6.2反比例函数的图象与性质

第1课时反比例函数的图象

1.会用描点法画出反比例函数的图象，并掌握反比例函数图象的特征；（重点）

2.会利用反比例函数图象解决相关问题.（难点）

一、情景导入

已知某面粉厂加工出4000吨面粉，厂方决定把这些面粉全部运往B市.

所需要的时间t（天）和每天运出的面粉总重量m（吨）之间有怎样的函数关系？你能在平面直角坐标系中形象地画出这个函数关系的图象吗？

二、合作探究YJS21.COM

探究点一：反比例函数的图象

【类型一】判断反比例函数所在的象限

反比例函数y＝－6x的图象在（）

A.第一、二象限B.第二、三象限

C.第一、三象限D.第二、四象限

解析：因为k＝－6＜0，所以反比例函数的图象在第二、四象限.故选D.

方法总结：反比例函数y＝kx的图象是由两支曲线组成的.当k＞0时，两支曲线分别位于第一、三象限内；当k＜0时，两支曲线分别位于第二、四象限内.

【类型二】由反比例函数图象的位置确定k的取值范围

若双曲线y＝2k－1x的两个分支分别在第二、四象限，则k的取值范围是（）

A.k＞12B.k＜12

C.k＝12D.不存在

解析：反比例函数图象的两个分支分别在第二、四象限，则必有2k－1＜0，解得k＜12.故选B.

方法总结：反比例函数的图象的位置由k的符号确定.

【类型三】实际问题的反比例函数图象

已知一个长方形的面积是8，则这个长方形的一组邻边长y与x之间的函数关系图象大致是图中的（）

解析：本题是一道有关反比函数的实际问题.已知长方形的面积是8，两邻边的长分别是x，y，所以x·y＝8，即y＝8x，所以此函数属于反比例函数.而长方形的任意一边的长度都必须大于0，故x的取值范围是x＞0.由k＞0且x＞0可知，函数的图象只在第一象限内，故选D.

方法总结：在解决与反比例函数的图象有关的实际问题时，因自变量的取值范围有限制，常只有一个分支或一个分支中的部分曲线段符合题意.

探究点二：一次函数与反比例函数的综合应用

在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax＋b与y＝abx（ab≠0）的图象大致是（）

解析：在A、B中，反比例函数的图象在第一、三象限，∴ab＞0.而观察一次函数的图象，在A中，a＞0，b＜0，矛盾；在B中，a＜0，b＞0，矛盾.在C、D中，反比例函数的图象在二、四象限，∴ab＜0.再观察一次函数的图象，在C中，a＜0，b＞0，符合题意；在D中，a＞0，b＞0，矛盾，故选C.

方法总结：在每个选项中可先由一个函数图象的位置得出a、b的符号情况，然后在另一个函数图象上检验，若无矛盾，则此选项正确，否则就是错误的.

已知反比例函数y＝kx的图象与一次函数y＝3x＋m的图象相交于点（1，5）.

（1）求这两个函数的解析式；

（2）求这两个函数图象的另一个交点的坐标.

解：（1）∵点（1，5）在反比例函数y＝kx的图象上，

∴5＝k1，即k＝5，

∴反比例函数的解析式为y＝5x.

又∵点（1，5）在一次函数y＝3x＋m的图象上，

∴5＝3＋m，即m＝2，

∴一次函数的解析式为y＝3x＋2；

（2）由题意，联立y＝5x，y＝3x＋2.

解得x1＝1，y1＝5或x2＝－53，y2＝－3.

∴这两个函数图象的另一个交点的坐标为（－53，－3）.

三、板书设计

反比例函数的图象形状：双曲线位置当k＞0时，两支曲线分别位于第一、三象限内当k＜0时，两支曲线分别位于第二、四象限内画法：列表、描点、连线（描点法）

通过学生自己动手列表、描点、连线，提高学生的作图能力.理解函数的三种表示方法及相互转换，对函数进行认识上的整合，逐步明确研究函数的一般要求.反比例函数的图象具体展现了反比例函数的整体直观形象，为学生探索反比例函数的性质提供了思维活动的空间.

【反思】

这节课主要是通过学生自主探究、观察、类比学习，探索得出反比例函数的图象和性质，使学生经历了一次自主获取新知的成功体验，充分体现自主探究的学习方法。根据本节课的知识特点，首先回顾了正比例函数一次函数图像与性质的学习模式，让学生首先明白该做什么，该怎么做的问题。其次是让学生类比正比例函数以及一次函数的图像与性质的的研究内容，让学生明白我们应该从图像上去识别什么，观察什么，通过类比学生明白了应该研究图像的形状，图像在不同象限时函数的增减性。最后展示一些有关性质的习题让学生利用医学知识来解决此类问题，检测学习目的的达成。

带着这样的思路,我设计了《反比例函数的图象与性质》教案。对教学中体会较深的几点如下：

首先,目的明确了，做起事情才有方向，这节课学生通过我的引导，类比正比函数和一次函数图像与性质的研究方式途径，学生一回忆，方向明确了，自主探究起来也就有了方向，知道了自己应该怎么做。

其次,数形结合思想在函数学习中的重要性，一个问题让我们去凭空想象在自己的脑海里构图，想起来对相当多的学生还存在很到大的困难，但是只要我们把图做出来，再在图中寻找信息就变得直观形象。让人看起来一目了然，数形一结合，信息就自然明了。

再次，及时巩固是重点，学生既然能很好的总结知识点，那么我们就应该让学生把总结的知识点加深巩固，这就要设计切合实际的练习题，还应该紧扣本节课所学知识，我在设计习题的过程中特意的做了安排，只要学生能判断来一个反比例函数的比例系数就能很好的完成函数所在象限和增减性的判断。

通过课堂学生的表现看，本节课的知识学生掌握的比较好，尤其是在平时的课堂上从不发言的王某、李某等人都踊跃举手回答，当然都是正确的。这让我深深地反思了自己平常的教学，我们更应该把课堂还给孩子，因为他们才是课堂的主体。

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北师大版数学九年级上册6.3反比例函数的应用优秀教案反思

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《北师大版数学九年级上册6.3反比例函数的应用优秀教案反思》这是一篇九年级上册数学教案，教师应以学段教学目标为背景，以本章教学目标为标准来考察学生的学习状况。在教与学的过程中，了解学生数学活动中情感与智力的参与程度和目标达到的水平，及时进行归因分析，不断积极引导和激励。同时利用诊断结果不断改进自己的教学。

6.3反比例函数的应用

1.会根据实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型；（重点）

2.能利用反比例函数解决实际问题.（难点）

一、情景导入

我们都知道，气球内可以充满一定质量的气体.

如果在温度不变的情况下，气球内气体的气压p（kPa）与气体体积V（m3）之间有怎样的关系？你想知道气球在什么条件下会爆炸吗？

二、合作探究

探究点一：实际问题与反比例函数

做拉面的过程中，渗透着反比例函数的知识.一定体积的面团做成拉面，面条的总长度y（m）是面条的粗细（横截面积）S（mm2）的反比例函数，其图象如图所示：

（1）写出y与S之间的函数表达式；

（2）当面条的横截面积为1.6mm2时，面条的总长度是多少米？

（3）要使面条的横截面积不多于1.28mm2，面条的总长度至少是多少米？

解析：由题意可设y与S之间的函数表达式为y＝kS，而P（32，4）为函数图象上一点，所以把对应的S，y的值代入函数表达式即可求出比例系数，从而得出反比例函数的表达式，最后根据反比例函数的图象和性质解题.

解：（1）由题意可设y与S之间的函数关系式为y＝kS.∵点P（4，32）在图象上，

∴32＝k4，∴k＝128.

∴y与S之间的函数表达式为y＝128S（S>0）；

（2）把S＝1.6代入y＝128S中，得y＝1281.6＝80.

∴当面条的横截面积为1.6mm2时，面条的总长度是80m；

（3）把S＝1.28代入y＝128S，得y＝100.

由图象可知，要使面条的横截面积不多于1.28mm2，面条的总长度至少应为100m.

方法总结：解决实际问题的关键是认真阅读，理解题意，明确基本数量关系（即题中的变量与常量之间的关系），抽象出实际问题中的反比例函数模型，由此建立反比例函数，再利用反比例函数的图象与性质解决问题.

探究点二：反比例函数与其他学科知识的综合

某校科技小组进行野外考察，途中遇到一片十几米宽的烂泥湿地，为了安全、迅速通过这片湿地，他们沿着前进路线铺了若干木块，构筑成一条临时近道.木板对地面的压强p（Pa）是木板面积S（m2）的反比例函数，其图象如图所示.

（1）请直接写出这一函数表达式和自变量的取值范围；

（2）当木板面积为0.2m2时，压强是多少？

（3）如果要求压强不超过6000Pa，木板的面积至少要多大？

解析：由于木板对地面的压强p（Pa）是木板面积S（m2）的反比例函数，而图象经过点A，于是可以利用待定系数法求得反比例函数的关系式，进而可以进一步求解.

解：（1）设木板对地面的压强p（Pa）与木板面积S（m2）的反比例函数关系式为p＝kS（S>0）.

因为反比例函数的图象经过点A（1.5，400），所以有k＝600.

所以反比例函数的关系式为p＝600S（S>0）；

（2）当S＝0.2时，p＝6000.2＝3000，即压强是3000Pa；

（3）由题意知600S≤6000，所以S≥0.1，即木板面积至少要有0.1m2.

方法总结：本题渗透了物理学中压强、压力与受力面积之间的关系p＝，当压力F一定时，p与S成反比例.另外，利用反比例函数的知识解决实际问题时，要善于发现实际问题中变量之间的关系，从而进一步建立反比例函数模型.

三、板书设计

反比例函数的应用实际问题与反比例函数反比例函数与其他学科知识的综合

经历分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型，进而解决问题的过程，提高运用代数方法解决问题的能力，体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识.通过反比例函数在其他学科中的运用，体验学科整合思想.

【反思】

“反比例函数的图像与性质”是反比例函数的教学重点，学生需要在理解的基础上熟练运用。为此应该有意识地加强反比例函数与正比例函数之间的对比。对比可以从以下几个方面进行：

（1）两种函数的关系式有何不同？两种函数的图像的特征有何区别？

（2）在常数相同的情况下，当自变量变化时，两种函数的函数值的变化趋势有什么区别？

（3）两种函数的取值范围有什么不同，常数的符号的改变对两种函数图像的变化趋势有什么影响？

从这些方面去比较理解反比例函数与一次函数，帮助学生将所学知识串联起来，提高学生综合能力。

此外，在学习反比例函数图像的性质（k大于0双曲线的两个分支在一、三象限，k小于0双曲线的两个分支在二、四象限）时，学生由画法观察图象可知；而增减性由解析式y等于k比x（k不等于0），学生也容易理解，但从图象观察增减性较难，借助计算机的动态演示就容易多了。运用多媒体比较两函数图像，使学生更直观、更清楚地看清两函数的区别。从而使学生加深对两函数性质的理解。

通过本案例的教学，使我深刻地体会到了信息技术在数学课堂教学中的灵活性、直观性。虽然制作起来比较麻烦，但能使课堂教学达到预想不到的效果，使课堂教学效率也明显提高。

在评价学生的学习时应关注以下几个过程

1、关注学生学习过程，进行形成性评价

教师应以学段教学目标为背景，以本章教学目标为标准来考察学生的学习状况。在教与学的过程中，了解学生数学活动中情感与智力的参与程度和目标达到的水平，及时进行归因分析，不断积极引导和激励。同时利用诊断结果不断改进自己的教学。

2、知识技能的评价，注重学生对函数概念及反比例函数的理解水平。

本部分内容中，对知识技能的评价包括：能否理解反比例函数的概念，了解函数及其图象的主要性质；能否根据所给信息确定反比例函数表达式，画出反比例函数的图象，并利用它们解决简单的实际问题等。对这些知识技能的评价，应当更多的关注其在实际问题情境中的意义理解。如对于反比例函数的概念及其性质，关键是体会它们在不同情境中的应用，只要学生能在具体情境应用它们解决问题即可，而不要过于关注其具体运用的熟练程度，如可以要求学生举例说明反比例函数在显示生活中的应用等。

3、发展性评价，关注数学活动引起人的变化

观察反比例函数图象获取函数相关性质的信息有较大空间，考察学生能否对信息作出灵敏反应，应用时，能否善于分析和决策，灵活支配运用知识有效的解决问题。关注并追踪这些活动所引起的学生的持久变化。

不足与改进：在整个课堂教学过程中，教师围绕主题、围绕学生提问的多，给学生提问的时间和机会很少．我的改进设想是：留给时间让学生提出问题，师生共同讨论、交流，让学生的学习更富有主动性；在活动一画出反比例函数的图象后，没有让学生趁热打铁“看图说话”，说出具体的图象的特征，为活动二猜想作很好的铺垫．我的改进设想是：在活动一画出反比例函数的图象后，追加这样一个问题：“请同学们仔细观察图象并进行讨论，这个反比例函数的图象区别于一次函数的图象有那些不同的特征呢？”留给时间让学生讨论、交流，这样改进之后，必将能更大的激发学生的探索热情，更能体现学生的创新能力，同时也为进一步学习反比例函数的图象的特征埋下伏笔，能增强学生学习的信心．

北师大版数学八年级上册1.3勾股定理的应用1优秀教案反思

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《北师大版数学八年级上册1.3勾股定理的应用1优秀教案反思》这是一篇八年级上册数学教案，本节课是学生在学习了三直角三角形的性质、直角三角形勾股定理逆定理的基础上开展的，更进一步加深学生勾股定理的理解，提高学生对数形结合的应用与理解。

1．3勾股定理的应用

1．能熟练运用勾股定理求最短距离；(难点)

2．能运用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题．(重点)

一、情境导入

一个门框的宽为1.5m，高为2m，如图所示，一块长3m，宽2.2m的薄木板能否从门框内通过？为什么？

二、合作探究

探究点一：求几何体表面上两点之间的最短距离

【类型一】长方体上的最短线段

如图①，长方体的高为3cm，底面是正方形，边长为2cm，现有绳子从D出发，沿长方体表面到达B′点，问绳子最短是多少厘米？

解析：可把绳子经过的面展开在同一平面内，有两种情况，分别计算并比较，得到的最短距离即为所求．

解：如图②，在Rt△DD′B′中，由勾股定理得B′D2＝32＋42＝25；

如图③，在Rt△DC′B′中，由勾股定理得B′D2＝22＋52＝29.

因为29>25，所以第一种情况绳子最短，最短为5cm.

方法总结：此类题可通过侧面展开图，将要求解的问题放在直角三角形中，问题便迎刃而解．

【类型二】圆柱上的最短线段

为筹备迎接新生晚会，同学们设计了一个圆筒形灯罩，底色漆成白色，然后缠绕红色油纸，如图①.已知圆筒的高为108cm，其横截面周长为36cm，如果在表面均匀缠绕油纸4圈，应裁剪多长的油纸？

解析：将圆筒侧面展开成平面图形，利用平面上两点之间线段最短求解，构造直角三角形，利用勾股定理来解决．

解：如图②，在Rt△ABC中，因为AC＝36cm，BC＝108÷4＝27(cm)．由勾股定理，得AB2＝AC2＋BC2＝362＋272＝2025＝452，所以AB＝45cm，所以整个油纸的长为45×4＝180(cm)．

方法总结：解决这类问题的关键就是转化，即把曲面转化为平面，曲线转化成直线，构造直角三角形，利用勾股定理求出未知线段长．

探究点二：利用勾股定理解决实际问题

如图，在一次夏令营活动中，小明从营地A出发，沿北偏东53°方向走了400m到达点B，然后再沿北偏西37°方向走了300m到达目的地C.求A、C两点之间的距离．

解析：把实际问题中的角度转化为图形中的角度，找到直角三角形，利用勾股定理求解．

解：如图，过点B作BE∥AD.∴∠DAB＝∠ABE＝53°.∵37°＋∠CBA＋∠ABE＝180°，∴∠CBA＝90°，∴AC2＝BC2＋AB2＝3002＋4002＝5002，∴AC＝500m，即A、C两点间的距离为500m.

方法总结：此类问题解题的关键是将实际问题转化为数学问题；在数学模型(直角三角形)中，应用勾股定理或勾股定理的逆定理解题．

三、板书设计

通过观察图形，探索图形间的关系，培养学生的空间观念．在将实际问题抽象成数学问题的过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想．在利用勾股定理解决实际问题的过程中，感受数学学习的魅力．

【反思】

本节课是学生在学习了三直角三角形的性质、直角三角形勾股定理逆定理的基础上开展的，更进一步加深学生勾股定理的理解，提高学生对数形结合的应用与理解。本节课首先安排了对圆柱形中的最短距离的观察猜想，由学生讨论如何实现圆柱中的最短距离，要把立体图形展开成为平面图形，平面图形中，有结论：两点之间，线段最短。在进一步由学生质疑，一定这样的方法得到的是最短距离吗？有没有其他的路径，进而讨论圆柱中的特殊情况，当圆柱是扁平的圆柱时，得到的最短距离还是把圆柱侧面展开构造的长方形的斜边长吗？最后由教师补充总结，当圆柱时细长的圆柱时，最短距离是把圆柱侧面展开构造的长方形的斜边长；当圆柱时扁平的圆柱时，最短距离是圆柱的高加圆柱的底面直径，至于这个圆柱到底是细长的还是扁平的，要具体问题具体分析。

当学生具备这样的理论基础，在圆柱的基础上讨论长方体的最短距离时，就事半功倍了，用类比思想，得到长方体中的最短距离，因为展开方式不同，所以分类讨论，最短距离分三种情况：1.最短距离2=（长+宽）2+高2；

2.最短距离2=（长+高）2+宽2；

3.最短距离2=（宽+高）2+长2，从三种情况中找到最小的就是最短距离；进而总结利用勾股定理求最短距离的步骤：

1.将立体图形展开；展开时注意：只需要展开包含相关点的面，可能会存在多种展开方式

2.确定相关点的位置；

3.连接相关点，构造直角三角形；

4.利用勾股定理求解。

通过总结如何将立体图形中的最短路线转换成平面图形中的最短路线，让学生体会到数学来源于生活又应用的生活，在学习的过程中体会获得成功的喜悦，提高获得提高学生学习数学的兴趣和信心，但课堂上质疑追问要恰到好处，不要增加学生展示的难度，影响展示进程出现中断或偏离主题的现象。

六年级下册《正比例和反比例》第1课时公开课教案反思

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《六年级下册《正比例和反比例》第1课时公开课教案反思》这是一篇六年级下册数学教案，正比例和反比例是在同学学习了比和比例的基础上进行教学的，主要让同学结合实际情境认识成正比例和反比例的量。

一、教学目标分析

正比例和反比例是在同学学习了比和比例的基础上进行教学的，主要让同学结合实际情境认识成正比例和反比例的量。知识与技能方面的教学目标是：经历从具体实例中认识成正比例和反比例的量的过程，理解正比例、反比例的意义，学会判断两种相关联的量是否成正比例或反比例。正比例、反比例都是表示两个相关联的变量之间关系的一种数学模型，都是在一定的条件下，一种量随着另一种量的变化而变化。本单元的教材分“成正比例的量”和“咸反比例的量”两个局部，先教学正比例的认识，再教学反比例的认识。在同一节课里引导同学探索两种量在变化过程中存在的规律，并用关系式表示出规律，有助于同学掌握正比例、反比例概念的实质，因此我们抓住知识的内联与实质规律，重组正比例、反比例教学：把认识成正比例的量和认识成反比例的量的两个例题整合起来，布置在一节课里进行教学，让同学在同一实例的情境中，感悟、体会并理解正比例、反比例的意义。

重组教材，创编文本。将教材中的例1(结合生活中的实例认识成正比例的量)和例3(结合生活中的实例认识成反比例的量)整合成同一问题情境下有前后联系的两道例题：保存原教材中的例1，引导同学认识成正比例的量；根据例1的情境，创编新的例2，替代原教材中的例3，引导同学认识成反比例的量。将教材中的例2(认识正比例图像)放到认识正比例、反比例之后进行教学。

抓住实质，内联教学。成正比例的量的实质规律是“比值一定”，成反比例的量的实质规律是“积一定”，引导同学探究发现这两种实质规律是教学的主要任务，教学时应掌握好这一点。本设计将例1和例2整合到同一情境下，从同学熟悉的时间、速度和路程这三个量之间的关系动身，引导同学对比研究，在观察、讨论交流中发现：①例1和例2中的两种量都是相关联的量，都是在一定的条件下，一种量随着另一种量的变化而变化。②例1中两种相关联的量的变化方向是相同的，一种量扩大(或缩小)，另一种量也随着扩大(或缩小)；例2中两种相关联的量的变化方向是相反的，一种量扩大，另一种量反而缩小。③例1中扩大、缩小的规律是“比值一定”，例2扩大、缩小的规律是“积一定”。这样抓住正比例、反比例的实质和联系进行教学，有助于同学加深对正比例、反比例意义的理解，从整体上掌握各种量之间的比例关系。

对比练习，沟通联系。同学对成正比例的量和成反比例的量有了一定的认识后，还需要一定的练习。为了协助同学逐步提高判断成正比例、反比例的量的能力，本设计中的练习分三个层次：一是判断咸正比例的量的练习；二是判断成反比例的量的练习；三是正比例、反比例对比练习，成比例的量与不成比例的量的对比练习。比较和辨析，有助于同学更好地掌握正比例、反比例概念的实质

二、教学过程设计

(一)导引探究，由表和里

教学例1，认识成正比例的量。

1．谈话引出例1的表格。一辆汽车在公路上行驶，行驶的时间和路程如下表。

时间（时）

1

2

3

4

5

6

……

路程（千米）

80

160

240

320

400

480

……

在让同学说一说表中列出了哪两种量之后，教师引导同学逐步探究：行驶的时间和路程有关系吗?行驶的时间是怎样随着路程的变化而变化的?行驶的时间和路程的变化有什么规律?(同学探究第3个问题时，教师可进行适当的引导，如引导同学写出几组路程和时间对应的比，并要求同学求出比值。)

2．引导同学交流并聚焦以下内容：路程和时间是两种相关联的量，路程随着时间的变化而变化；时间扩大、路程也扩大，时间缩小、路程也缩小；路程和时间的比值总是一定的，也就是“路程／时间=速度(一定)”(板书关系式)。

3．教师对两种量之间的关系给予具体说明：路程和时间是两种相关联的量，时间变化，路程也随着变化。当路程和对应时间的比值总是一定(也就是速度一定)时，我们就说行驶的路程和时间咸正比例(板书“路程和时间成正比例”)，行驶的路程和时间是成正比例的量。

4．让同学根据板书完整地说一说表中路程和时间成什么关系。

[数学概念是客观实际中数量关系和空间形式的实质属性在人脑中的反映。数学概念的来源一般有两个方面：一是直接从实际经验中概括得出；二是在原有的初级概念基础上通过新旧概念的相互作用而获得。正比例概念的形成属于前者，因此例1的教学可以充沛利用表格，让同学通过对表中数据的观察和分析，由浅入深，由表和里，逐步认识成正比例的量的特点。本环节先让同学观察例题中的表格，说一说表中列出的是哪两种量；接着用三个引探性的问题逐步引导同学在探究学习活动中发现路程与时间之间的关系和变化趋势；最后，聚焦、明晰这两种量之间的关系，让同学初步认识正比例的特点。这样的教学有利于同学经历正比例概念的形成过程。]

(二)自主棵究，尝试归纳

出示例2：汽车从甲地开往乙地，行驶的速度和所用时间如下表，它们之间有什么规律?

速度（千米/时）

40

60

80

100

120

……

时间（时）

30

20

15

12

10

……

1．出示供同学自主探究的问题：当速度变化时，时间是否也随着变化?这种变化与例1中两种量的变化有什么不同?速度和时间的变化有什么规律?

2．引导同学在自主探究、交流中认识成反比例的量的特点：速度和时间是两种相关联的量，速度变化，时间也随着变化；例2中两种量的变化规律是：一种量扩大，另一种量反而缩小；速度和时间的变化规律是它们的乘积一定，可以表示为“速度×时间=路程(一定)”(板书关系式)。

3．在发现变化规律的基础上，让同学仿照正比例的意义，尝试归纳反比例的意义，引出反比例概念(板书“速度和时间成反比例”)。

[从生活原型中逐步笼统，从已有概念中衍生，从数学概念的学习中迁移等，都是建构数学概念的有效方法。有了学习正比例的基础，反比例意义的学习应更加体现同学的学习自主性。本环节除了让同学发现成反比例的量之间的关系，还让同学仿照正比例的意义，尝试归纳反比例的意义。这样能真正发挥同学的学习主动性，让同学在自主探究过程中经历反比例概念的形成过程。]

(三)对比棵究，掌握实质规律

1．将各例1、例2教学时探究发现的内容用多媒体出现出来，揭示正比例、反比例的内涵实质。

多媒体出现：

例1路程／时间=速度(一定)

路程和时间成正比例

例2速度×时间；路程(一定)

速度和时间成反比例

2．探究活动。

(1)让同学仿照例1完成教材第62页“试一试”(题略)，仿照例2完成教材第65页“试一试”(题略)。

(2)引导同学将成正比例的量与成反比例的量进行对比探究，找出它们的相同点与不同点。

[例1中路程和时间相依互变，速度不变，例2中速度和时间相依互变，路程不变，这样的对比有利于同学从变中看到不变；例1中速度是不变量，例2中路程是不变量，同样都有不变量，例1中路程和时间成正比例，而例2中速度和时间成反比例，这样的对比有利于同学从不变中看到变。变与不变关键要抓住实质——“比值一定”还是“积一定”。对比探究活动旨在让同学掌握概念内在的联系与区别，形成正比例、反比例概念的认知结构。]

(3)引导同学尝试用字母表达式对正比例的意义和反比例的意义进行笼统概括。

启发同学考虑：①假如用字母x和y分别表示两种相关联的量、用k表示它们的比值，正比例关系可以怎样表示?②假如用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的积，反比例关系可以怎样表示?

根据同学的回答，板书关系式“正比例y／x=k(一定)”，“反比例x×y=k(一定)”。

[概念符号化在概念教学中很重要。《数学课程规范》明确指出，符号感主要表示之一是能从具体情境中笼统出数量关系和变化规律，并用符号来表示。同学概念形成的主要过程为：感知具体对象阶段、尝试建立表象阶段、笼统实质属性阶段、符号表征阶段、概念运用阶段。在符号表征阶段，同学尝试用语言或符号对同类对象的实质属性进行概括。本阶段教学是概念符号表征阶段，在这个阶段之前，同学对正比例、反比例的实质属性和特征有一定的认识，可以开始尝试用符号对正比例、反比例进行概括。“y／x=k(一定)”，“x×y=k(一定)”，是对正比例、反比例意义的笼统表达，是揭示正比例、反比例数量关系和其变化规律的数学模型。]

3．组织对比性练习。

(1)成正比例、反比例的对比练习。笔记本的单价、购买的数量和总价如下表：

表1

数量/本

20

30

40

50

60

……

总价/元

30

45

60

75

90

……

表2

单价/元

1.5

2

4

5

6

……

数量/本

40

30

15

12

10

……

在表1中，相关联的量是和，随着变化，是一定的。因此，数量和总价成关系。!

在表2中，相关联的量是和，随着变化，是一定的。因此，单价和数量成关系。

[将获得的新概念推广到其他的同类对象中去，是概念运用的过程，也是进一步理解概念的过程。表1是成正比例的量，表2是成反比例的量，这种正比例与反比例的对比，有利于同学进一步加深对正比例、反比例意义的认识，对正比例或反比例中两种量变化趋势和规律的掌握。]

(2)成比例与不成比例的对比练习。

下面每题中的两个量哪些成正比例，哪些成反比例?哪些既不成正比例也不成反比例?

①圆的直径和周长。②小麦每公顷产量一定，小麦的公顷数和总产量。③书的总页数一定，已经看的页数和未看的页数。

[这一类型题比较笼统，同学只有对正比例、反比例的意义有了较深刻的理解，才干正确地作出判断。这样的练习有助于同学从整体上掌握各种量之间的关系，有助于进一步提高同学判断成正比例、反比例的量的能力。此题型在新授课上还只是让同学初步接触，重点训练还要放在练习课。]

(3)从生活中寻找成正比例、反比例的量的实例，进行对比练习。

[举例练习是概念巩固阶段的重要组成局部。假如让同学独立找生活中成正比例、反比例的量的实例，可能有一定难度，我们可采用小组讨论的形式进行。此练习还可以让同学感受到数学与生活的联系。

【反思】

我执教的《正比例反比例》是北师大版六年级下册P63的内容，课前给学生下发“学案”让学生在充放预习的基础上以学案为载体，归纳、回顾和整理所学的知识，课堂以合作交流、展示为重点，本节复习课，目的是通过整理复习，使学生对正比例和反比例的知识有一个全面的认识，使所学知识结构化，系统化。由于学生已是高年级，应该能够自主对知识进行整理，形成系统，因此在整理与回顾时我尽量放手，给学生充足的时间，让学生将本单元所学内容进行回顾整理，再深入各学习小组巡回指导，适当进行点拨。在这个过程中，我为学生提供自主梳理知识的时间和空间，使学生体会数学知识、方法之间的密切联系。并注重发展学生提出问题、解决问题的能力，在回顾、整理、巩固、应用的过程中帮助学生再次经历重要概念和方法的形成过程，使学生不断积累活动经验，体会一些重要的数学思想。

在学生对正比例和反比例的知识进行整理后，在小组内展开合作学习，让学生以小组为单位进行交流。小组长要做好组织协调工作，在小组交流的过程中，哪个同学有什么疑问可以提出来，自己小组的同学进行解答。如果解决不了，就将疑问记录下来，等全班交流时，再进行提问，在这个过程中，每个同学将自己整理的内容进行添加、补充、完善，小组整理的知识达成共识。经过这个过程，复习的重要知识基本上就形成了。

在小组活动时，教师及时走下讲台巡视，参与到解决问题有困难的小组中去，积极地看，认真地听，及时了解信息，以便在全班展示时及时抓重点、难点给予点拨、引导。

在小组交流的基础上，小组代表进行发言。其他同学认真倾听，在汇报的基础上再进行补充。在学生汇报交流中，学生及时补充正、反比例的相同与不同。老师根据学生交流的情况，点拨判断正、反比例量的判断方法。

为了全面了解学生知识的掌握情况，在课堂结束阶段，设计适当的检测性练习题让学生独立练习，及时反馈矫正，引导学生自觉参与课堂评价，进而对本节课的表现、练习情况等进行自我总结与反思，体验快乐与成功，增强学生学习数学的信心，培养良好的反思习惯。

在教学中也存在着以下几个问题：

1、时间安排不够合理。在“合作交流”部分的小组交流中时间留的较多，再加上学生在预展部分板书较慢，学生的板演技能还不是很高，以致课堂预设流程没有能够进行完。

2、学生的课堂语言有重复打结的现象，在学生的展示、补充、点评环节都有存在。对学生课堂发言、倾听习惯培养不到位，对学生课堂语言要进一步的引导养成良好的倾听习惯，以适应课改的需要。

北师大版数学九年级下册3.8圆内接正多边形1教案反思

现在向您介绍幼儿园教案《北师大版数学九年级下册3.8圆内接正多边形1教案反思》

《北师大版数学九年级下册3.8圆内接正多边形1教案反思》这是一篇九年级下册数学教案，本节课新概念较多，对概念的教学要注意从“形”的角度去认识和辨析，但对概念的严格定义不能要求过高．在概念教学中，要重视运用启发式教学，让学生从“形”的特征获得对几何概念的直观认识，鼓励学生用自己的语言表述有关概念，再进一步准确理解有关概念的文字表述，促进学生主动学习．所以在教学的过程中应尽量使用多媒体教学手段.

3.8圆内接正多边形

1．了解圆内接正多边形的有关概念；(重点)

2．理解并掌握圆内接正多边形的半径和边长、边心距、中心角之间的关系；(重点)

3．掌握圆内接正多边形的画法．(难点)

一、情境导入

这些美丽的图案，都是在日常生活中我们经常能看到的．你能从这些图案中找出正多边形来吗？

二、合作探究

探究点：圆内接正多边形

【类型一】圆内接正多边形的相关计算

已知正六边形的边心距为3，求正六边形的内角、外角、中心角、半径、边长、周长和面积．

解析：根据题意画出图形，可得△OBC是等边三角形，然后由三角函数的性质，求得OB的长，继而求得正六边形的周长和面积．

解：如图，连接OB，OC，过点O作OH⊥BC于H，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠BOC＝16×360°＝60°，∴中心角是60°.∵OB＝OC，∴△OBC是等边三角形，∴BC＝OB＝OC.∵OH＝3，sin∠OBC＝OHOB＝32，∴OB＝BC＝2.∴内角为180°×（6－2）6＝120°，外角为60°，周长为2×6＝12，S正六边形ABCDEF＝6S△OBC＝6×12×2×3＝63.

方法总结：圆内接正六边形是一个比较特殊的正多边形，它的半径等于边长，对于它的计算要熟练掌握．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第11题

【类型二】圆内接正多边形的画法

如图，已知半径为R的⊙O，用多种工具、多种方法作出圆内接正三角形．

解析：度量法：用量角器量出圆心角是120度的角；尺规作图法：先将圆六等分，然后再每两份合并成一份，将圆三等分．

解：方法一：(1)用量角器画圆心角∠AOB＝120°，∠BOC＝120°；

(2)连接AB，BC，CA，则△ABC为圆内接正三角形．

方法二：(1)用量角器画圆心角∠BOC＝120°；

(2)在⊙O上用圆规截取AC︵＝AB︵；

(3)连接AC，BC，AB，则△ABC为圆内接正三角形．

方法三：(1)作直径AD；

(2)以D为圆心，以OA长为半径画弧，交⊙O于B，C；

(3)连接AB，BC，CA，则△ABC为圆内接正三角形．

方法四：(1)作直径AE；

(2)分别以A，E为圆心，OA长为半径画弧与⊙O分别交于点D，F，B，C；

(3)连接AB，BC，CA(或连接EF，ED，DF)，则△ABC(或△EFD)为圆内接正三角形．

方法总结：解决正多边形的作图问题，通常可以使用的方法有两大类：度量法、尺规作图法；其中度量法可以画出任意的多边形，而尺规作图只能作出一些特殊的正多边形，如边数是3、4的整数倍的正多边形．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第5题

【类型三】正多边形外接圆与内切圆的综合

如图，已知正三角形的边长为2a.

(1)求它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积；

(2)根据计算结果，要求圆环的面积，只需测量哪一条弦的大小就可算出圆环的面积？

(3)将条件中的“正三角形”改为“正方形”、“正六边形”你能得出怎样的结论？

(4)已知正n边形的边长为2a，请写出它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积．

解析：正多边形的边心距、半径、边长的一半正好构成直角三角形，根据勾股定理就可以求解．

解：(1)设正三角形ABC的中心为O，BC切⊙O于点D，连接OB、OD，则OD⊥BC，BD＝DC＝a.则S圆环＝π•OB2－π•OD2＝πOB2－OD2＝π•BD2＝πa2；

(2)只需测出弦BC(或AC，AB)的长；

(3)结果一样，即S圆环＝πa2；

(4)S圆环＝πa2.

方法总结：正多边形的计算，一般是过中心作边的垂线，连接半径，把内切圆半径、外接圆半径、边心距，中心角之间的计算转化为解直角三角形．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第4题

【类型四】圆内接正多边形的实际运用

如图①，有一个宝塔，它的地基边缘是周长为26m的正五边形ABCDE(如图②)，点O为中心(下列各题结果精确到0.1m)．

(1)求地基的中心到边缘的距离；

(2)已知塔的墙体宽为1m，现要在塔的底层中心建一圆形底座的塑像，并且留出最窄处为1.6m的观光通道，问塑像底座的半径最大是多少？

解析：(1)构造一个由正多边形的边心距、半边和半径组成的直角三角形．根据正五边形的性质得到半边所对的角是360°10＝36°，再根据题意中的周长求得该正五边形的半边是26÷10＝2.6，最后由该角的正切值进行求解；(2)根据(1)中的结论，塔的墙体宽为1m和最窄处为1.6m的观光通道，进行计算．

解：(1)作OM⊥AB于点M，连接OA、OB，则OM为边心距，∠AOB是中心角．由正五边形性质得∠AOB＝360°÷5＝72°，∴∠AOM＝36°.∵AB＝15×26＝5.2，∴AM＝2.6.在Rt△AMO中，边心距OM＝AMtan36°＝2.6tan36°≈3.6(m)．所以，地基的中心到边缘的距离约为3.6m；

(2)3.6－1－1.6＝1(m)．

所以，塑像底座的半径最大约为1m.

方法总结：解决问题关键是将实际问题转化为数学问题来解答．熟悉正多边形各个元素的算法．

三、板书设计

圆内接正多边形

1．正多边形的有关概念

2．正多边形的画法

3．正多边形的有关计算

本节课新概念较多，对概念的教学要注意从“形”的角度去认识和辨析，但对概念的严格定义不能要求过高．在概念教学中，要重视运用启发式教学，让学生从“形”的特征获得对几何概念的直观认识，鼓励学生用自己的语言表述有关概念，再进一步准确理解有关概念的文字表述，促进学生主动学习．所以在教学的过程中应尽量使用多媒体教学手段.